对于兩個事件
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兩個事件A和B是獨立的 当且仅当
P
r
(
A
∩
B
)
=
P
r
(
A
)
P
r
(
B
)
{\displaystyle \mathrm {Pr} (A\cap B)=\mathrm {Pr} (A)\mathrm {Pr} (B)}
。
這裡，A ∩ B是A和B的交集，即為A和B兩個事件都會發生的事件。
对于任意個事件
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若有限个事件构成的集合
{
A
i
}
i
=
1
n
{\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}
中每对事件都是独立的，则这些事件是兩兩獨立(pairwise independent)的。[1]
即当且仅当对任意的
i
,
j
∈
{
1
,
.
.
.
,
n
}
,
i
≠
j
{\displaystyle i,j\in \{1,...,n\},i\neq j}
，有
P
r
(
A
i
∩
A
j
)
=
P
r
(
A
i
)
P
r
(
A
j
)
{\displaystyle \mathrm {Pr} (A_{i}\cap A_{j})=\mathrm {Pr} (A_{i})\mathrm {Pr} (A_{j})}
若有限个事件构成的集合
{
A
i
}
i
=
1
n
{\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{n}}
中每个事件都与任何其他事件构成的交集独立，则这些事件是相互獨立(mutually independent) 的。
即当且仅当對其任一有限子集A1, ..., An，會有
Pr
(
A
1
∩
⋯
∩
A
n
)
=
Pr
(
A
1
)
⋯
Pr
(
A
n
)
{\displaystyle \Pr(A_{1}\cap \cdots \cap A_{n})=\Pr(A_{1})\,\cdots \,\Pr(A_{n})}
。
或写作：
Pr
(
⋂
i
=
1
n
A
i
)
=
∏
i
=
1
n
Pr
(
A
i
)
.
{\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\Pr(A_{i}).\!\,}
這被稱為獨立事件的乘法規則。
独立事件的性质
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若兩個事件A和B是獨立的，則其B給之A的條件機率和A的「無條件機率」一樣，即
Pr
(
A
∣
B
)
=
Pr
(
A
)
{\displaystyle \Pr(A\mid B)=\Pr(A)\,}
。
至少有兩個理由可以解釋為何此一敘述不可以當做獨立性的定義：(1)A和B兩個事件在此敘述中並不對稱，及(2)當機率為0亦可包含於此敘述時，會有問題產生。
若回想條件機率Pr(A | B)的定義為
Pr
(
A
∣
B
)
=
Pr
(
A
∩
B
)
Pr
(
B
)
,
{\displaystyle \Pr(A\mid B)={\Pr(A\cap B) \over \Pr(B)},}
(只要Pr(B) ≠ 0 )
則上面的敘述則會等價於
Pr
(
A
∩
B
)
=
Pr
(
A
)
Pr
(
B
)
{\displaystyle \Pr(A\cap B)=\Pr(A)\Pr(B)}
即為上面所給定的標準定義。
注意獨立性並不和它在地方話裡的有相同的意思。例如，一事件獨立於其自身当且仅当：
Pr
(
A
)
=
Pr
(
A
∩
A
)
=
Pr
(
A
)
Pr
(
A
)
{\displaystyle \Pr(A)=\Pr(A\cap A)=\Pr(A)\Pr(A)\,}
亦即，其機率不是零就是一。因此，當一事件或其補集幾乎確定會發生，它即是獨立於其本身。例如，若事件A從單位區間的連續型均勻分佈上選了0.5，則A是獨立於其自身的，儘管重言式地，A完全決定了A。